Soal Saya yang Berhasil Masuk di KTOM : Edisi November 2017 - April 2018

Bismillaahirrahmaanirrohiim

Assalamu'alaikum

Selamat Datang di blog ini,

Di awal awal bulan Ramadhan ini, karna gabut makanya nyoba nulis di blog lagi.

Kali ini saya akan menulis beberapa soal (selevel olimpiade) matematika buatan saya yang berhasil terpilih dalam Kontes Terbuka Olimpiade Matematika (KTOM, selengkapnya di www.ktom.tomi.or.id) edisi 6 bulan yakni November 2017 - April 2018.

Logo KTOM 

Sebelumnya saya berterima kasih kepada Pak Yan Fardian yang sudah mengajari saya dengan sabar juga, karna saya banyak bertanya 😂, mengenai Math Jax, sejenis LaTex nya di blog. Sebenarnya saya masih belum terlalu paham LaTex.  Untuk latihan soal matematika dan materi belajar, silahkan kunjungi blog nya beliau di yan-fardian.blogspot.com

Disclaimer : Soal-soal di bawah ini yang telah dibuat tidak merepresentasikan kemampuan saya  (apalagi bagus), namun saya hanya mendapat motivasi ditambah juga suatu momen waktu yang tepat, uwu.

Oke, langsung aja ke soal

KTOM  NOVEMBER 2017

Diberikan segitiga $ABC$ sama sisi. Misalkan $D$ , $E$, dan $F$ berturut turut adalah titik tengah sisi $BC$, $CA$ , dan $AB$ . Misalkan juga $D'$, $E'$, dan $F'$ berturut turut adalah titik tengah sisi $EF$, $DF$, dan $DE$ . Ramanda memilih $3$ bilangan berbeda dari himpunan  $N = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ . Kemudian tiga bilangan yang dipilih Ramanda masing masing di letakkan pada titik $A$, $B$, $C$ . Bilangan pada titik $D$ , $E$, dan $F$ berturut-turut adalah rata-rata dari bilangan pada ujung sisi  $BC$, $CA$, dan $AB$. Kemudian bilangan pada titik $D'$, $E'$, dan $F'$ berturut-turut adalah rata-rata dari bilangan pada ujung sisi $EF$, $DF$, dan $DE$. misalkan $M$ adalah himpunan nilai rata-rata bilangan pada titik $D'$, $E'$, dan $F'$ tentukan median dari anggota $M$.

Fun Fact and Hint: Ini soal pertama saya yang masuk dalam KTOM. Dan cukup senang 😂 . Hintnya dengan cara aljabar dan dikuli (ga terlalu panjang)

KTOM DESEMBER 2017

Didefenisikan barisan $a_n$ dan $b_n$ sebagai  berikut, $a_1 = a_2 = b_2 = 1$ dan $b_1$ = 0  dan untuk $n \geq 3$, \[a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \text{dan} b_n = b_{n-1} + b_{n-2}\]

Misalkan $P_n (x)  = x^2 + s_n x + t_n$ adalah polinom yang akar-akarnya $a_n$ dan $b_n$ untuk setiap bilangan asli $n$. Misalkan $M$ dan $m$ adalah bilangan asli $k$ terbesar dan terkecil, berturut-turut sehingga \[s_k(\sqrt {s_k^2 -4t_k} + 1) + t_k + 100 > 0\]

Tentukan nilai $M + m$

Fun Fact and Hint: Soal ini keliatannya agak rumit, tapi sebenarnya cukup mudah jika dikuli atau pake identitas pada barisan Fibonacci. Saya memikirkan untuk membuat soal ini butuh sekitar 1 jam lebih uwu.

KTOM JANUARI 2018 (Simulasi OSK) 

Suatu keluarga mempunyai $4$ orang anak, urutan dari termuda yaitu Aisyah, Benyah, Cyah, dan Dyah. Umur mereka dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat dalam satuan tahun. Tahun lalu, umur Aisyah relatif prima dengan umur kakak-kakaknya. Tahun ini, setiap dua orang di antara memiliki umur  saling relatif prima, keculai umur Aisyah dan Dyah. Diketahui pula,

 pada tahun ini hasil kali umur mereka adalah $2016$ dan umur Dyah adalah $d$ tahun. Tentukan nilai $d$

Fun Fact or Hint : Jawabnya cukup dengan tinjau $GCD$ umur Aisyah dan Dyah. Dengan beberapa langkah akan didapatkan nilai $GCD$ nya $2$

KTOM FEBRUARI 2018

Soal Pertama :

Gedung Perusahaan KTO memiliki lift unik . Lift tersebut hanya bisa berpindah ke atas atau ke bawah dengan syarat akan berhenti setelah melewati $2$ lantai atau $3$ lantai. Jika lift sudah berhenti,maka harus dioperasikan lagi hingga mencapai lantai tujuan. Sebagai contoh , jika berada di lantai $5$, maka lift hanya bisa beroindah ke lantai $2$,$3$,$7$ atau $8$.  Rio ingin mengantarkan dokumen ke lantai $11$.Tetapi ,ia harus mengambil dokumen tersebut di lantai $16$. Diketahui Rio sekarang berada di lantai $1$ dan diasumsikan Rio tidak pernah turun saat berjalan dari lantai $1$ ke lantai $16$ dan tidak pernah naik saat berjalan dari lantai $16$ ke lantai $11$. Tentukan banyak cara Rio mengantarkan dokumen dengan lift unik ini. 

Fun Fact and Hint : Naskah soal aslinya adalah Karyawan Perusahaan. Mungkin karena terlalu panjang, diganti menjadi Rio pas dimasukin ke website. Soal ini diselesaikan dengan mencari banyak solusi dari $2x + 3y = 15$ dan $2p + 3q = 5$ dengan memeperhatikan urutan. 

Soal Kedua :

Diberikan $n$ adalah bilangan bulat positif, sehingga terdapat bilangan real non negatif $x$, $y$, $z$ sehingga \[n! = \lfloor x \rfloor! + \lfloor y \rfloor! + \lfloor z \rfloor!\]

Jika $p$ adalah bilangan terbesar dan $q$ adalah bilangan terkecil sehingga $ p \leq  x + y + z < q$ . Tentukan nilai dari $\lfloor p + q \rfloor$

Fun Fact or Hint : Hint WLOG $x \leq y \leq z $ dan dan dapatkan fakta bahwa $\lfloor y! \rfloor$ membagi $\lfloor x! \rfloor$ dan juga $\lfloor z! \rfloor$ = $\lfloor y! \rfloor$

KTOM MARET 2018 (SIMULASI OSP)

Soal pertama : 

Misalkan $n$ anggota himpunan  $\{1, 2, 3, ..., 100\}$ sehingga $n^4 + 20n^2 + 100$ bukan pangkat $4$ dari suatu bilangan bulat. Tentukan banyak nilai $n$ yang mungkin.

Fun Fact and Hint : Peserta KTOM banyak yang bisa jawab soal ini, ya karna cukup mudah. Hintnya manfaatkan fakta bahwa $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

Soal Kedua :

Tentukan banyaknya bilangan bulat positif kurang dari $2018$ yang dapat dinyatakan dalam bentuk $x^6 + x^5 + x^ 4 + x^3 + x^2 + x + 1$ untuk suatu bilangan bulat $x$

Fun Fact and Hint : Peserta KTOM juga banyak yang bisa jawab soal ini. Jawabnya ,cari dulu batasan nilai $x$ ketika $x$ positif maupun non positif. 

Soal ketiga :

Diberikan barisan $a_n$ didefenisikan sebagai berikut : $a_0 = 3 , a_ 1 = -1$ , dan untuk $n \geq 2$ berlaku : \[a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2} + 4 \]

Tentukan sisa pembagian $a_{2018} $ oleh $2018$

Fun Fact and Hint : Soal ini cukup sulit/mudah. Kalo imba atau tau rekursif bakal jadi mudah ni soal. Hint nya misalkan $a_n = b_n - 2$ dan cari bentuk umum $b_n$

KTOM APRIL 2018

Soal Pertama :

Diberikan barisan $\{a_n\}$ yang memenuhi $a_1$ = 1 dan : \[a_{n+1} = \frac {2a_n}{a_n +2}\]

untuk setiap bilangan asli $n$. Jika $B$ adalah barisan $(b_1, b_2, b_3, ... b_{2017})$ dimana $ (-1)^{n-1}a_n b_{2018-n)} = 2$ untuk setiap bilangan asli $n$ kurang dari $2018$, tentukan penjumlahan semua anggota himpunan $B$.

Fun Fact and Hint  : Saya cukup berbelit belit membuat soal ini, tujuannya kaya pake teleskopik. Ya, motivasinya emang teleskopik hehe, dan itu lah hintnya.

Soal kedua :

Diketahui banyak faktor prima dari $a$ dan $b$ tidak lebih dari $2$, namun $a$ dan $b$ habis dibagi oleh suatu bilangan kuadrat lebih dari $1$. Jika faktor persekutuan terbesar dari $ab$, $a+b$,$a-b$ adalah 6, tentukan nilai terkecil $a+b$ yang mungkin. 

Fun Fact and Hint : Soal ini seperti mudah ditebak jawabannya dan banyak peserta KTOM yang bisa menjawabnya. Hintnya tinjau faktor prima dari $6$.

Itulah soal soal saya yang ada di KTOM selama 6 bulan kemaren. Mungkin saja ada peserta yang bilang ga sulit kalau dikerjakan😂 

Also, ada lagi FUN FACT dari semua soal di atas? Ada yang bisa nebak?? owo owo...

Yaa, kalau diperhatikan soal di atas gaada yang masuk kategori soal GEOMETRI, semuanya termasuk Teori Bilangan/Aljabar/Kombinatorika. Hehehhe memang semua subtopik olimpiade matematika itu menurut saya susah, tapi lebih susah lagi geometri wkwkkwk. Saya sering terpukau dengan solusi-solusi soal geometri yang unik-unik, misalnya Buku Euclidan Geometry in Mathematical Olympiads oleh Evan Chen (wkwkw jadi curhat)

Oke sekian pembahasan tulisan ini, terima kasih sudah membaca, 

Assalamu'alaikum Warahmatullahi Wabarokatuh